الجبر الخطي الأمثلة

$\sqrt{5} + i \sqrt{5}$

خطوة 1

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 2

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 3

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = \sqrt{5}$ و $b = \sqrt{5}$ .

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 4.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 4.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 4.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 4.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 4.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

خطوة 4.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

خطوة 4.3

أضف $5$ و $5$ .

$| z | = \sqrt{10}$

خطوة 5

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

خطوة 6

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ ينتج زاوية في الربع الأول، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

خطوة 7

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{π}{4}$ و $| z | = \sqrt{10}$ .

$\sqrt{10} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$